浙江省专升本高数备考必看：历年真题核心知识点全面提炼与优化（4）

针对“极限概念、性质及运算法则”这一知识点，我们可以设计一些具体的例题来帮助学生更好地理解和掌握。以下是根据您提供的信息设计的例题：

极限概念

例题1（选择题）：
设函数f(x)=x−1x2−1​，则limx→1​f(x) 等于（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不存在

解答：
首先，将函数f(x)=x−1x2−1​进行因式分解，得到f(x)=x−1(x+1)(x−1)​。
当x=1时，可以约去分子分母的$x-1$，得到$f(x)=x+1$。
因此，limx→1​f(x)=limx→1​(x+1)=1+1=2。
故选C。

极限性质

例题2（填空题）：
若函数$f(x)$在$x=a$处存在极限，且limx→a​f(x)=L，则函数$f(x)$在$x=a$的某个邻域内（ ）。
A. 一定有界
B. 一定无界
C. 一定连续
D. 极限值一定等于$f(a)$

解答：
根据极限的局部有界性，若函数$f(x)$在$x=a$处存在极限，则函数$f(x)$在$x=a$的某个邻域内一定有界。
故选A。

极限四则运算

例题3（选择题）：
已知limx→0​xsinx​=1，limx→0​x21−cosx​=21​，则limx→0​1−cosxxsinx​ 等于（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不存在

解答：
利用极限的四则运算法则，有
limx→0​1−cosxxsinx​=limx→0​x1−cosx​x​⋅limx→0​sinx
=limx→0​21​xx​⋅limx→0​sinx （因为limx→0​x21−cosx​=21​，所以limx→0​x1−cosx​=21​x）
$=2\cdot 0=0$
故选A。