浙江省专升本高数备考必看：历年真题核心知识点全面提炼与优化（6）

2024-08-24 杨亦涛浏览量: 170

针对“特定类型极限计算（含e的x次方、lnx、x和n）”这一知识点，我们可以根据常见的题型和解题技巧来设计例题，帮助学生更好地掌握这类极限的计算方法。

例题1（填空题）：
求极限 $lim_{x \to 0} x e ^{x} - 1$ 。

解答：
利用洛必达法则（或等价无穷小替换），有

$lim_{x \to 0} x e ^{x} - 1 = lim_{x \to 0} d x d (e^{x} - 1) / d x d x = lim_{x \to 0} e^{x} = 1$

或利用等价无穷小 $e^{x} - 1 \sim x$ （当 $x \to 0$ 时），直接得出答案为 1。

例题2（计算题）：
求极限 $lim_{x \to +\infty} (x l n x)$ 。

解答：
利用洛必达法则，有

$lim_{x \to +\infty} (x l n x) = lim_{x \to +\infty} d x d (ln x) / d x d x = lim_{x \to +\infty} x 1 = 0$

例题3（计算题）：
求极限 $lim_{x \to 0} x s i n x$ 。

解答：
利用重要极限 $lim_{x \to 0} x s i n x = 1$ ，直接得出答案为 1。

例题4（计算题）：
求极限 $lim_{n \to \infty} (1 + n 1)^{n}$ 。

解答：
利用极限的定义和性质，该极限是自然对数的底数e的定义，即

$lim_{n \to \infty} (1 + n 1)^{n} = e$

例题5（计算题）：
求极限 $lim_{x \to 0} x ^{2} e ^{x} - 1 - x$ 。

解答：
利用泰勒展开或洛必达法则，首先进行泰勒展开：

$e^{x} = 1 + x + 2 ! x ^{2} + \dots$

所以，

$lim_{x \to 0} x ^{2} e ^{x} - 1 - x = lim_{x \to 0} x ^{2} 1 + x + 2 ! x ^{2} + \dots - 1 - x = lim_{x \to 0} x ^{2} 2 x ^{2} + \dots = 2 1$

或使用洛必达法则：

$lim_{x \to 0} x ^{2} e ^{x} - 1 - x = lim_{x \to 0} 2 x e ^{x} - 1 = lim_{x \to 0} 2 e ^{x} = 2 1$

这些例题涵盖了含e的x次方、lnx、x和n的特定类型极限计算，通过练习这些题目，学生可以更好地掌握这类极限的计算方法和技巧。

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