浙江省专升本高数备考必看：历年真题核心知识点全面提炼与优化（8）

针对“0/0(∞*0)型极限计算”这一知识点，我们可以进一步细化其解题策略和方法，并通过具体例题来加深理解。

1. 0/0型极限计算

解题策略：

1. 无穷小等价代换：首先检查是否可以使用无穷小等价代换来简化表达式。这通常适用于乘除运算中的因子。

2. 因式分解或有理化：如果表达式包含可以因式分解或需要有理化的部分（如根号），则先进行这些操作。

3. 洛必达法则：如果经过上述步骤后极限仍为0/0型，则考虑使用洛必达法则。注意使用前的条件检查和化简步骤。

4. 泰勒公式：在加减运算中，如果需要使用无穷小等价代换但条件不满足，可以考虑使用泰勒公式来保持精度。

例题：

例题1：求 limx→0​x3sinx−x​。

解答：

1. 无穷小等价代换：由于 $\sin x\sim x$（当 $x\to 0$），但这里不能直接用，因为需要更精确的表达式。

2. 泰勒公式：使用 sinx=x−6x3​+o(x3)，则 sinx−x=−6x3​+o(x3)。

3. 代入原式：limx→0​x3sinx−x​=limx→0​x3−6x3​+o(x3)​=−61​。

2. ∞*0型极限计算

解题策略：

1. 转化为0/0型：通过代数变换（如倒数、对数等）将极限表达式转化为0/0型。

2. 应用0/0型极限的解题方法：一旦转化为0/0型，就可以使用上述0/0型极限的解题策略。

例题：

例题2：求 limx→0+​xlnx。

解答：

1. 转化为0/0型：考虑 limx→0+​xlnx=limx→0+​x1​lnx​。

2. 应用洛必达法则：对分子和分母分别求导，得到 limx→0+​−x21​x1​​=limx→0+​−x=0。

总结：

在处理0/0型和∞*0型极限时，关键在于通过适当的代数变换和极限性质的应用来简化问题。无穷小等价代换、因式分解、有理化、洛必达法则和泰勒公式是处理这类问题的有力工具。在实际解题中，应根据具体情况灵活选择和应用这些方法。