浙江省专升本高数备考必看：历年真题核心知识点全面提炼与优化（10）

针对幂指函数极限计算的知识点，特别是1^∞型和∞^0、0^0型，我们可以进一步细化解题策略，并通过示例来加深理解。

1. 1^∞型极限计算

标准化方法：

对于1^∞型极限，最推荐的方法是将其转化为 limx→a​(1+u(x))u(x)1​ 的形式，其中 $u(x)\to 0$ 当 $x\to a$。这种方法利用了第二个重要极限 limx→0​(1+x)x1​=e。

注意：在转化过程中，不能直接将底数中的部分项极限等于1先求出来，因为这可能会改变整个表达式的极限行为。

示例：求 limx→0​(1+x)sinx1​。

解答：

1. 注意到 $\sin x\to 0$ 当 $x\to 0$，且 sinxx​→1（重要极限之一）。
2. 将原式改写为 limx→0​((1+x)x1​)sinxx​。
3. 应用第二个重要极限，得 limx→0​esinxx​=e1=e。

2. ∞0 和 00 型极限计算

取对数法：

对于这两种类型的极限，通常通过取对数将其转化为0×∞型或利用对数恒等式进行求解。

示例1：求 limx→+∞​xx1​。

解答：

1. 对两边取对数，得 ln(limx→+∞​xx1​)=limx→+∞​x1​lnx。
2. 注意到 xlnx​→0 当 $x\to +\infty$（因为对数函数增长慢于任何正幂函数）。
3. 所以 ln(limx→+∞​xx1​)=0，从而 limx→+∞​xx1​=e0=1。

示例2：求 limx→0+​xx。

解答（使用对数恒等式）：

1. 注意到 xx=exlnx。
2. 当 x→0+ 时，$x\ln x\to 0\times (-\infty )=0$（因为 $\ln x\to -\infty$）。
3. 所以 limx→0+​xx=limx→0+​exlnx=e0=1。

总结

在处理幂指函数极限时，关键是识别极限的类型（如1∞、∞0、00）并选择合适的解题方法。对于1∞型，推荐使用标准化方法；对于∞0和00型，则可以通过取对数法或利用对数恒等式进行求解。同时，要注意避免在求解过程中提前将部分项的极限求出，以免改变整个表达式的极限行为。