2024 年浙江省单独招生考试文化课考试数学试题卷

一、单项选择题（本大题共 20 小题，1-10 小题每小题 2 分，11-20 小题每小题 3 分，共 50 分）

1. 已知集合M={2,e,3}，集合N={e,3,π}，则M∩N=（ ）

    

   A. {2,e}

    

   B. {e,3}

    

   C. {e,π}

    

   D. {2,e,3,π}

    
2. 已知角β满足390∘<β<510∘，则角3β​是（ ）

    

   A. 第一象限角

    

   B. 第二象限角

    

   C. 第三象限角

    

   D. 第四象限角

    
3. 直线x+y−7=0的倾斜角为（ ）

    

   A. 45∘

    

   B. 60∘

    

   C. 120∘

    

   D. 135∘

    
4. 函数f(x)=1−x​log3​(4−x2)​的定义域为（ ）

    

   A. (−2,1)∪(1,2)

    

   B. (−2,1)

    

   C. (−2,2)

    

   D. (−∞,1)

    
5. 不等式∣3x+2∣≥5的解集为（ ）

    

   A. [1,+∞)

    

   B. (−∞,−37​]

    

   C. [−37​,1]

    

   D. (−∞,−37​]∪[1,+∞)

    
6. 若点P(a,2)到直线3x−4y−5=0的距离为 2，则实数a=（ ）

    

   A. 1

    

   B. −323​

    

   C. 1或323​

    

   D. −1或323​

    
7. 现有 4 名队员和 1 名教练排成一排合影留念，教练不排两端，则不同的排法共有（ ）

    

   A. 120 种

    

   B. 72 种

    

   C. 48 种

    

   D. 24 种

    
8. 已知m，n皆为实数，则 “∣m∣+n​=0” 是 “mn=0” 的（ ）

    

   A. 充分不必要条件

    

   B. 必要不充分条件

    

   C. 充要条件

    

   D. 既不充分也不必要条件

    
9. 已知数列{an​}为等差数列，且a2​+a3​+a5​+a6​=20，则a4​=（ ）

    

   A. 2

    

   B. 3

    

   C. 4

    

   D. 5

    
10. 设扇形的圆心角为θ，若角θ=2rad，则下列不等式正确的是（ ）

     

    A. sinθ>0

     

    B. cosθ>0

     

    C. tanθ>0

     

    D. sinθtanθ>0

     
11. 已知a=log2​3，b=log3​10，c=2，则下列不等式正确的是（ ）

     

    A. c<b<a

     

    B. c<a<b

     

    C. a<c<b

     

    D. a<b<c

     
12. 函数f(x)的图像如图所示，下列区间中函数f(x)与∣f(x)∣均为单调递增的是（ ）

     

    A. (−2,−1.6)

     

    B. (−1,−0.5)

     

    C. (0,0.5)

     

    D. (0.5,1.5)

     
13. 已知m，n皆为正数，且2m+n=1，则m1​+nm​（ ）

     

    A. 有最小值 4

     

    B. 有最大值 4

     

    C. 有最小值29​

     

    D. 有最大值29​

     
14. 随着全民健身理念深入人心，越来越多人在春暖花开时节来到户外，享受运动乐趣。已知某徒步路线全程由上坡和下坡两段构成。假设某人徒步上坡和下坡的速度均为匀速，且徒步的路程y(km)与时间x(h)的函数图像如图所示，则徒步 3 小时 30 分钟的路程是（ ）

     

    A. 6.125km

     

    B. 11.2km

     

    C. 8.3km

     

    D. 10.475km

     
15. 若双曲线4×2​−9y2​=1与直线x=m有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）

     

    A. (−∞,−2)∪(2,+∞)

     

    B. (−∞,−2]∪[2,+∞)

     

    C. (−2,2)

     

    D. [−2,2]

     
16. 刘徽注《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为 “堑堵”；将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为 “阳马”；将四个面均为直角三角形的四面体称为 “鳖臑”。如图所示，堑堵ABC−A1​B1​C1​可斜解为 “阳马”A1​−BCC1​B1​和 “鳖臑”A1​−ABC两部分，则 “阳马” 与 “鳖臑” 的体积之比为（ ）

     

    A. 1:2

     

    B. 1:1

     

    C. 2:1

     

    D. 3:1

     
17. (x−2y)6的二项展开式中，二项式系数最大的项为（ ）

     

    A. −160x3y3

     

    B. 60x4y2

     

    C. 160x3y3

     

    D. 240x2y4

     
18. 在△ABC中，已知点A的坐标为(1,−2)，点B的坐标为(2,1)，D，E分别为边AC，BC的中点，则向量DE的坐标为（ ）

     

    A. (−21​,−23​)

     

    B. (21​,23​)

     

    C. (−1,−3)

     

    D. (1,3)

     
19. 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣≤2π​)部分图像如图所示，M(2,3​)是图像上的最高点，N(4,−3​)是与M相邻的一个最低点，则函数的解析式为（ ）

     

    A. y=3​sin(2x−2π​)

     

    B. y=2sin(21​x−2π​)

     

    C. y=3​sin(2π​x+2π​)

     

    D. y=3​sin(2π​x−2π​)

     
20. 直线l过抛物线x2=8y的焦点，且与抛物线交于M(x1​,y1​)，N(x2​,y2​)两点，若x1​+x2​=4，则∣MN∣=（ ）

     

    A. 6

     

    B. 8

     

    C. 10

     

    D. 12

     

二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）

21. 某车站有A、B、C、D四个出口，乘客甲从中随机选一个出口出站，则选择C出口的概率是________。
     
22. 已知方程x2+y2−2x+4y−3k=0表示一个圆，则实数k的取值范围是________。
     
23. 已知cosθ=−41​，π<θ<23π​，则sin(2θ+2024π)=________。
     
24. 已知双曲线a2x2​−b2y2​=1(a>0,b>0)的焦距为 8，离心率为 2，则其渐近线方程为________。
     
25. 已知数列{an​}满足a1​=2，an+1​=an​−an​1​，则a4​=________。
     
26. 如图所示，某几何体是一个圆锥与一个半球的组合体，若圆锥的高为62​，圆锥底面的直径与半球的直径皆为 6，则该几何体的表面积S=________。
     
27. 设函数f(x)={2x,log16​x,​x∈(−∞,1]x∈(1,+∞)​，则满足f(x)=41​的x值为________。
     

三、解答题（本大题共 7 小题，共 72 分）（解答应写出文字说明及演算步骤）

28. （本题 9 分）已知角α为第二象限角，且sinα=525​​

     

    （1）求cosα和tanα；（4 分）

     

    （2）将角α的终边绕原点按顺时针方向旋转45∘形成角β，求tanβ。（5 分）

     
29. （本题 9 分）已知圆C经过点(2,3)和(1,0)，且圆心在y轴上。

     

    （1）求圆C的标准方程；（4 分）

     

    （2）直线l经过坐标原点，且与圆C相交于A，B两点，若∣AB∣=23​，求直线l的方程。（5 分）

     
30. （本题 10 分）在△ABC中，已知AB=AC=5，cosA=257​

     

    （1）求BC的长；（5 分）

     

    （2）若D为AC延长线上一点，且△BCD的面积为536​，求CD的长。（5 分）

     
31. （本题 10 分）如图所示，菱形ABCD的边长为 3，BD=4，点P是平面ABCD外一点，PD⊥平面ABCD，且PD=3。求：

     

    （1）四棱锥P−ABCD的体积；（5 分）

     

    （2）二面角P−AB−C的平面角的正切值。（5 分）

     
32. （本题 10 分）某药物进入动物体内一段时间后进行实时监测，药物在血液中的浓度N(μg/ml)与时间t(min)的监测数据如下表：
     

33. （本题 12 分）如图所示，F1​，F2​是椭圆3×2​+b2y2​=1(b>0)的两个焦点，且该椭圆过点A(0,2​)

     

    （1）求椭圆的焦点坐标；（3 分）

     

    （2）过点A的直线与AF2​垂直，交椭圆于点B，求点B的坐标；（5 分）

     

    （3）求四边形ABF1​F2​的面积。（4 分）

     
34. （本题 12 分）如图所示，将长为 5，宽为 3 的长方形分别沿两条对称轴对折，对折 1 次得到25​×3和5×23​两种不同的长方形，它们的面积之和a1​=15，周长之和b1​=24；对折 2 次共得到45​×3，25​×23​，5×43​三种不同的长方形，它们的面积之和a2​=445​，周长之和b2​=28。以此类推，对折n次共得到n+1种不同的长方形，它们的面积之和为an​，周长之和为bn​：

     

    （1）写出a3​，b3​；（4 分）

     

    （2）求数列{an​}，{bn​}的通项公式；（4 分）

     

    （3）求数列{an​}的前n项和Sn​。（4 分）