浙江省专升本高数备考必看：历年真题核心知识点全面提炼与优化（1）

关于函数定义域的知识点，确实是在高等数学和数学专升本考试中常见的考点之一。以下是一些基于这个知识点的历年真题示例及解析，帮助你更好地理解和掌握这个内容。

示例 1：具体函数的定义域

题目：求函数 f(x)=log2​(x2−3x+2) 的定义域。

解析：对数函数的内部必须大于0，即 x2−3x+2>0。解这个不等式，我们得到 $x<1$ 或 $x>2$。因此，函数 $f(x)$ 的定义域为 $\{x|x<1\text{ 或 }x>2\}$。

示例 2：复合函数的定义域

题目：已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $[1,3]$，求函数 $g(x)=f(2x-1)$ 的定义域。

解析：由于 $f(x)$ 的定义域是 $[1,3]$，那么 $2x-1$ 必须落在这个区间内，即 $1\le 2x-1\le 3$。解这个不等式组，我们得到 $1\le x\le 2$。因此，函数 $g(x)$ 的定义域为 $[1,2]$。

示例 3：函数四则运算的定义域

题目：求函数 h(x)=x−2x+1​​ 的定义域。

解析：函数 $h(x)$ 包含两个部分需要注意：分子中的平方根和分母。平方根内的表达式必须非负，即 $x+1\ge 0$，解得 $x\ge -1$。分母不能为0，即 x−2=0，解得 x=2。综合两者，我们得到函数 $h(x)$ 的定义域为 {x∣x≥−1 且 x=2}。

学习建议

1. 理解基本概念：首先确保你清楚各种基本函数（如幂函数、对数函数、三角函数等）的定义域规则。
2. 多做练习：通过大量的练习来巩固你的知识和技能，尤其是涉及复合函数和函数四则运算的题目。
3. 注意细节：在解题过程中，注意不等式和等式的解集，确保没有遗漏或错误。

希望这些示例和建议能帮助你在函数定义域这一知识点上取得更好的成绩！

1. 定义域求解题

题目1：
若函数 f(x)=log2​(3x−1) 的定义域为 $A$，求 $A$。

解析：
对于对数函数 loga​b，要求 $b>0$。因此，对于 f(x)=log2​(3x−1)，需要满足 $3x-1>0$。
解不等式 $3x-1>0$ 得 x>31​。
所以，定义域 A=(31​,+∞)。

题目2：
已知函数 f(x)=x2−4​1​ 的定义域为 $M$，求 $M$。

解析：
对于分母含有根号的函数，要求根号下的表达式大于0，并且分母不能为0（但此处分母为根号表达式，所以只需考虑根号下大于0）。
因此，需要满足 x2−4>0。
解不等式 x2−4>0 得 $x<-2$ 或 $x>2$。
所以，定义域 $M=(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$。

2. 值域求解题

题目3：
求函数 f(x)=x2−4x+5 的值域。

解析：
该函数为二次函数，可以通过配方将其化为顶点式。
f(x)=x2−4x+5=(x−2)2+1
由于二次项系数为正，所以函数开口向上，顶点为 $(2,1)$，即函数的最小值为1。
因此，值域为 $[1,+\infty )$。

题目4：
求函数 f(x)=x+12x−1​ 的值域。

解析：
对于分式函数，可以通过分离常数法求解值域。
f(x)=x+12x−1​=2−x+13​
由于分母 $x+1$ 不为0，所以 x+13​ 不为0，即 2−x+13​ 不等于2。
因此，值域为 $(-\infty ,2)\cup (2,+\infty )$。

3. 复合函数定义域与值域题

题目5：
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，求 $f(2x-1)$ 的定义域。

解析：
由于 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，则 $0\le 2x-1\le 1$。
解这个不等式组得 21​≤x≤1。
因此，$f(2x-1)$ 的定义域为 [21​,1]。

以上题目涵盖了函数定义域和值域求解的基本方法和技巧，包括对数函数、分式函数、二次函数以及复合函数的定义域和值域求解。这些题目对于理解和掌握函数的基本性质具有重要意义。