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必修 1 数学知识点

第一章：集合与函数概念

$1.1.1 集合

把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。
只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
常见集合：正整数集合：或，整数集合：，有理数集合：，实数集合：。
集合的表示方法：列举法、描述法。

$1.1.2 集合间的基本关系

一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，则称集合是集合的子集。记作。
如果集合，但存在元素，且，则称集合是集合的真子集。记作：。
把不含任何元素的集合叫做空集，记作：。并规定：空集合是任何集合的子集。
如果集合中含有个元素，则集合有个子集，个真子集。

$1.1.3 集合间的基本运算

一般地，由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合与的并集。记作：。
一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集。记作：。
全集、补集：，且。

$1.2.1 函数的概念

设、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合到集合的一个函数，记作：，。
一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等。

$1.2.2 函数的表示法

函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法。

$1.3.1 单调性与最大（小）值

注意函数单调性的证明方法：
- 定义法：设、，，那么在上是增函数；在上是减函数。
- 步骤：取值 — 作差 — 变形 — 定号 — 判断
- 格式：解：设，且，则：
- 导数法：设函数在某个区间内可导，若则为增函数；若，则为减函数。

$1.3.2 奇偶性

一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为偶函数。偶函数图象关于轴对称。
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为奇函数。奇函数图象关于原点对称。

第二章：基本初等函数（I）

$2.1.1 指数与指数幂的运算

一般地，如果，那么叫做的次方根。其中，。
当为奇数时，；当为偶数时，。
规定：
- （，，，）
- （）
运算性质：
- （，，）
- （，，）
- （，，）

$2.1.2 指数函数及其性质

图象：（，）
性质：


定义域
值域
过定点	，即时，	，即时，
单调性	在上是增函数	在上是减函数
其他性质	，；，	，；，

$2.2.1 对数与对数运算

指数与对数互化式：
对数恒等式：
基本性质：，
运算性质：当a>0，a=1，M>0，N>0时：
换底公式：（，，，，）
重要公式：
倒数关系：（，，，）

$2.2.2 对数函数及其性质

图象：（，）
性质：


定义域
值域
过定点	，即时，	，即时，
单调性	在上是增函数	在上是减函数
其他性质	，；，	，；，

必修 2 数学知识点

第一章：空间几何体

空间几何体的结构
- 常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
- 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
- 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
空间几何体的三视图和直观图
- 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
空间几何体的表面积与体积
- 圆柱侧面积：侧面
- 圆锥侧面积：侧面
- 圆台侧面积：侧面
- 体积公式：柱体；锥体；台体上上下下

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行。
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
线线位置关系：平行、相交、异面。
线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
面面位置关系：平行、相交。
线面平行：
- 判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此面平行（简称线线平行，则线面平行）。
- 性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。
面面平行：
- 判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
- 性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
线面垂直：
- 定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
- 判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。
- 性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。
面面垂直：
- 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
- 判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
- 性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（简称面面垂直，则线面垂直）。

第三章：直线与方程

倾斜角与斜率：
直线方程：
- 点斜式：
- 斜截式：
- 两点式：
- 截距式：
- 一般式：
对于直线：l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2有：
- 和相交
- 和重合
对于直线：l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0有：
- 和相交
- 和重合
两点间距离公式：
点到直线距离公式：
两平行线间的距离公式：，，则

第四章：圆与方程

圆的方程：
- 标准方程：，其中圆心为，半径为
- 一般方程：，其中圆心为，半径为
直线与圆的位置关系：直线Ax+By+C=0与圆(x−a)2+(y−b)2=r2的位置关系有三种：
- 相离
- 相切
- 相交
- 弦长公式：
两圆位置关系：d=∣O1O2∣
- 外离：
- 外切：
- 相交：
- 内切：
- 内含：
空间中两点间距离公式：

必修 3 数学知识点

第二章：统计

抽样方法：
- 简单随机抽样（总体个数较少）
- 系统抽样（总体个数较多）
- 分层抽样（总体中差异明显）
- 注意：在个个体的总体中抽取出个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为

第三章：概率

随机事件及其概率：
- 事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示
- 必然事件、不可能事件、随机事件的特点
- 随机事件的概率：，
古典概型：
- 基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果
- 古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生
- 古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有个，事件包含了其中的个基本事件，则事件发生的概率

必修 4 数学知识点

第一章：三角函数

$1.1.1 任意角

正角、负角、零角、象限角的概念
与角终边相同的角的集合：

$1.1.2 弧度制

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角
弧长公式：
扇形面积公式：

$1.2.1 任意角的三角函数

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：，，
设点为角终边上任意一点，那么（设）：，，，
特殊角，，，，，，等的三角函数值：

角
角的弧度数


	不存在	不存在

$1.2.2 同角三角函数的基本关系式

平方关系：
商数关系：
倒数关系：

三角函数的诱导公式（概括为奇变偶不变，符号看象限，k in Z$）

诱导公式一：，，（其中：）
诱导公式二：，，
诱导公式三：，，
诱导公式四：，，
诱导公式五：，
诱导公式六：，

$1.4.1 正弦、余弦函数的图象和性质

正弦函数在上的五个关键点为：，，，，
能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称性、对称中心、奇偶性、单调性、周期性

$1.4.3 正切函数的图象与性质

能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性
周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质


定义域			${x	x neq kpi + frac{pi}{2}, k in Z}$
值域
最值	，时，；，时，	，时，；，时，	无
周期性
奇偶性	奇	偶	奇
单调性（）	在上单调递增；在上单调递减	在上单调递增；在上单调递减	在上单调递增
对称性（）	对称轴方程：；对称中心	对称轴方程：；对称中心	无对称轴；对称中心

函数y = Asin (omega x + varphi)$ 的图象

对于函数：（，）有：振幅，周期，初相，相位，频率
函数y=sinx的图象与y=Asin(ωx+φ)+B的图象之间的平移伸缩变换关系：
- 先平移后伸缩：平移个单位；横坐标不变，纵坐标变为原来的倍；纵坐标不变，横坐标变为原来的倍；平移个单位（上加下减）
- 先伸缩后平移：横坐标不变，纵坐标变为原来的倍；纵坐标不变，横坐标变为原来的倍；平移个单位；平移个单位（上加下减）
三角函数的周期、对称轴和对称中心：
- 函数，及函数，（，，为常数，且）的周期
- 函数，，（，，为常数，且）的周期
- 求函数图像的对称轴与对称中心，只需令（）与（）解出即可，余弦函数可与正弦函数类比可得

第三章：三角恒等变换

$3.1.1 两角差的余弦公式

15° 的三角函数值：

$3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

$3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

，变形：

第二章：平面向量

$2.1.2 向量的几何表示

带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量。
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量），规定：零向量与任意向量平行。

$2.1.3 相等向量与共线向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
平面向量共线定理：向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使

$2.3.3 平面向量的坐标运算

设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)则：
设，，则：

$2.3.4 平面向量共线的坐标表示

设，，，则线段中点坐标为

$2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则：
设，，则：
两向量的夹角公式：

必修 5 数学知识点

第一章：解三角形

正弦定理：sinAa=sinBb=sinCc=2R（其中R为△ABC外接圆的半径）
- ，，
- ，，
- 用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素；已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素
余弦定理：
- 用途：已知三角形两边及其夹角，求其它元素；已知三角形三边，求其它元素
三角形面积公式：
三角形内角和定理：在中，有
一个常用结论：在中，；若，则或，特别注意，在三角函数中，不成立

第二章：数列

数列中与之间的关系：，注意通项能合并
等差数列：
- 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即（，），那么这个数列就叫做等差数列
- 等差中项：若三数，，成等差数列，则
- 通项公式：或（、是常数）
- 前项和公式：
- 常用性质：
  - 若（，，，），则
  - 下标为等差数列的项（，，，），仍组成等差数列
  - 数列（，为常数）仍为等差数列
  - 若、是等差数列，则、（、是非零常数）、（，）等也成等差数列
  - 单调性：的公差为，则为递增数列；为递减数列；为常数列
  - 数列为等差数列（，是常数）
  - 若等差数列的前项和，则、、是等差数列
等比数列：
- 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列
- 等比中项：若三数，，成等比数列，则（同号），反之不一定成立
- 通项公式：
- 前项和公式：（）
- 常用性质：
  - 若（，，，），则
  - ，，，为等比数列，公比为（下标成等差数列，则对应的项成等比数列）

选修数学知识点

专题一：常用逻辑用语

命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非” 这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题，常用小写的拉丁字母，，，，表示命题
四种命题及其相互关系：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若¬p，则¬q；逆否命题：若¬q，则¬p
- 四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系
充分条件、必要条件与充要条件：
- 一般地，如果已知，那么就说：是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充分必要条件，简称充要条件
- 充分条件、必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论q之间的关系：
  - 从逻辑推理关系上看：若，则是充分条件，是的必要条件；若，但，则是充分而不必要条件；若，但，则是必要而不充分条件；若且，则是的充要条件；若且，则是的既不充分也不必要条件

圆锥曲线

椭圆

椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。椭圆的定义用符号语言表示：∣MF1∣+∣MF2∣=2a（2a>∣F1F2∣）
- 说明：当时，无轨迹；当时，轨迹为线段
椭圆的标准方程：
- 焦点在轴上的椭圆的标准方程：（），焦点，
- 焦点在轴上的椭圆的标准方程：（），焦点，
- 其中，，几何意义：表示长轴长的一半，表示短轴长的一半，表示焦距长的一半，并且有
椭圆的简单几何性质（以a2x2+b2y2=1（a>b>0）为例）：
- 范围：，
- 对称性：关于轴、轴以及原点对称，对称轴为轴、轴，对称中心为
- 顶点：，，，，长轴长，短轴长
- 离心率，，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁

焦点的位置	焦点在轴上	焦点在轴上
标准方程	（）	（）
定义	到两定点、的距离之和等于常数，即 $	MF_1	+	MF_2	= 2a$（$2a >	F_1F_2	$）	到两定点、的距离之和等于常数，即 $	MF_1	+	MF_2	= 2a$（$2a >	F_1F_2	$）
范围	且	且
顶点	，，，	，，，
轴长	长轴的长，短轴的长	长轴的长，短轴的长
对称性	关于轴、轴对称，关于原点中心对称	关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点	、	、
焦距	（）	（）
离心率	（）	（）

双曲线

双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点，叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。双曲线的定义用符号语言表示：（）
双曲线的标准方程：
- 焦点在轴上的双曲线的标准方程：（，），焦点，
- 焦点在轴上的双曲线的标准方程：（，），焦点，
- 其中，，几何意义：表示实轴长的一半，表示虚轴长的一半，表示焦距长的一半，并且有
- 当时，双曲线称为等轴双曲线，其方程为或
双曲线的简单几何性质（以a2x2−b2y2=1（a>0，b>0）为例）：
- 范围：，
- 对称性：对称轴为轴、轴，对称中心为
- 顶点：，，，，实轴长，虚轴长
- 离心率，，越小，双曲线越扁；越大，双曲线越开阔
- 双曲线的渐近线方程：

焦点的位置	焦点在轴上	焦点在轴上
标准方程	（，）	（，）
定义	到两定点、的距离之差的绝对值等于常数，即 $		MF_1	–	MF_2	= 2a$（$0 < 2a <	F_1F_2	$）	到两定点、的距离之差的绝对值等于常数，即 $	MF_1	–	MF_2	= 2a$（$0 < 2a <	F_1F_2	$）
范围	或，	或，
顶点	、	、
轴长	实轴的长，虚轴的长	实轴的长，虚轴的长
对称性	关于轴、轴对称，关于原点中心对称	关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点	、	、
焦距	（）	（）
离心率	（）	（）
渐近线方程

抛物线

抛物线的定义：
- 平面内与一个定点和一条定直线（点不在直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线
- 其数学表达式：（其中为点到准线的距离）
抛物线的标准方程：
- （）
- （）
- （）
- （）
- 的几何意义：焦点到准线的距离
抛物线的几何性质：

	（）	（）	（）	（）
顶点
开口方向	向右	向左	向上	向下
范围	，且	，且	，且	，且
对称轴
离心率
焦点
准线方程
焦半径公式（）	$	MF	= x_0 + frac{p}{2}$	$	MF	= -x_0 + frac{p}{2}$	$	MF	= y_0 + frac{p}{2}$	$	MF	= -y_0 + frac{p}{2}$
焦点弦长公式	$	AB	= x_1 + x_2 + p$	–	–	–
通径	过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：$	HH’	= 2p$	过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：$	HH’	= 2p$	过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：$	HH’	= 2p$	过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：$	HH’	= 2p$