2024年浙江省单独招生考试文化课考试数学试题

一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分）

已知集合M={2,e,3}，集合N={e,3,π}，则M∩N=（）
{2,e}
{e,3}
{e,π}
{2,e,3,π}
已知角β满足390∘<β<510∘，则角β3是（）
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
直线x+y−7=0的倾斜角为（）
45∘
60∘
120∘
135∘
函数f(x)=log3⁡(4−x2)1−x的定义域为（）
(−2,1)∪(1,2)
(−2,1)
(−2,2)
(−∞,1)
不等式|3x+2|≥5的解集为（）
[1,+∞)
(−∞,−73]
[−73,1]
(−∞,−73]∪[1,+∞)
若点P(a,2)到直线3x−4y−5=0的距离为2，则实数a=（）
1
−233
1或233
−1或233
现有4名队员和1名教练排成一排合影留念，教练不排两端，则不同的排法共有（）
120种
72种
48种
24种
已知m，n皆为实数，则“|m|+n=0”是“mn=0”的（）
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
已知数列{an}为等差数列，且a2+a3+a5+a6=20，则a4=（）
2
3
4
5
设扇形的圆心角为θ，若角θ=2rad，则下列不等式正确的是（）
sin⁡θ>0
cos⁡θ>0
tan⁡θ>0
sin⁡θtan⁡θ>0
已知a=log2⁡3，b=log3⁡10，c=2，则下列不等式正确的是（）
c<b<a
c<a<b
a<c<b
a<b<c
函数f(x)的图像如图所示，下列区间中函数f(x)与|f(x)|均为单调递增的是（）
(−2,−1.6)
(−1,−0.5)
(0,0.5)
(0.5,1.5)
已知m，n皆为正数，且2m+n=1，则1m+mn（）
有最小值4
有最大值4
有最小值92
有最大值92
随着全民健身理念深入人心，越来越多人在春暖花开时节来到户外，享受运动乐趣。已知某徒步路线全程由上坡和下坡两段构成。假设某人徒步上坡和下坡的速度均为匀速，且徒步的路程y(km)与时间x(h)的函数图像如图所示，则徒步3小时30分钟的路程是（）
6.125km
11.2km
8.3km
10.475km
若双曲线x24−y29=1与直线x=m有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）
(−∞,−2)∪(2,+∞)
(−∞,−2]∪[2,+∞)
(−2,2)
[−2,2]
刘微注《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”；将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”。如图所示，堑堵ABC−A1B1C1可斜解为“阳马”A1−BCC1B1和“鳖臑”A1−ABC两部分，则“阳马”与“鳖臑”的体积之比为（）
1:2
1:1
2:1
3:1
(x−2y)6的二项展开式中，二项式系数最大的项为（）
−160x3y3
60x4y2
160x3y3
240x2y4
在△ABC中，已知点A的坐标为(1,−2)，点B的坐标为(2,1)，D，E分别为边AC，BC的中点，则向量DE→的坐标为（）
(−12,−32)
(12,32)
(−1,−3)
(1,3)
函数y=Asin⁡(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)部分图像如图所示，M(2,3)是图像上的最高点，N(4,−3)是与M相邻的一个最低点，则函数的解析式为（）
y=3sin⁡(2x−π2)
y=2sin⁡(12x−π2)
y=3sin⁡(π2x+π2)
y=3sin⁡(π2x−π2)
直线l过抛物线x2=8y的焦点，且与抛物线交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，若x1+x2=4，则|MN|=（）
6
8
10
12

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

某车站有A、B、C、D四个出口，乘客甲从中随机选一个出口出站，则选择C出口的概率是________。
已知方程x2+y2−2x+4y−3k=0表示一个圆，则实数k的取值范围是________。
已知cos⁡θ=−14，π<θ<3π2，则sin⁡(2θ+2024π)=________。
已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为8，离心率为2，则其渐近线方程为________。
已知数列{an}满足a1=2，an+1=an−1an，则a4=________。
如图所示，某几何体是一个圆锥与一个半球的组合体，若圆锥的高为62，圆锥底面的直径与半球的直径皆为6，则该几何体的表面积S=________。
设函数f(x)={2x,x∈(−∞,1]log16⁡x,x∈(1,+∞)，则满足f(x)=14的x值为________。

三、解答题（本大题共7小题，共72分）（解答应写出文字说明及演算步骤）

（本题9分）已知角α为第二象限角，且sin⁡α=255

（1）求cos⁡α和tan⁡α；（4分）

（2）将角α的终边绕原点按顺时针方向旋转45∘形成角β，求tan⁡β。（5分）

（本题9分）已知圆C经过点(2,3)和(1,0)，且圆心在y轴上。

（1）求圆C的标准方程；（4分）

（2）直线l经过坐标原点，且与圆C相交于A，B两点，若|AB|=23，求直线l的方程。（5分）

（本题10分）在△ABC中，已知AB=AC=5，cos⁡A=725

（1）求BC的长；（5分）

（2）若D为AC延长线上一点，且△BCD的面积为365，求CD的长。（5分）

（本题10分）如图所示，菱形ABCD的边长为3，BD=4，点P是平面ABCD外一点，PD⊥平面ABCD，且PD=3，求：

（1）四棱锥P−ABCD的体积；（5分）

（2）二面角P−AB−C的平面角的正切值。（5分）

（本题10分）某药物进入动物体内一段时间后进行实时监测，药物在血液中的浓度N(μg/ml)与时间t(min)的监测数据如下表：

t	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
N	0.84	0.88	0.92	0.98			0.92	0.82		0.58	0.46

（1）观察数据，比较[10,20]和[20,30]这两个时间段，哪个时间段的药物浓度平均增速快；（2分）

（2）当t∈[70,100]时，N是关于t的一次函数，求N(80)；（4分）

（3）当t∈(20,70)时，N是关于t的二次函数，且N(t)=−0.0002t2+0.016t+0.68，求t为多少时药物浓度达到最高，并求出最高值。（4分）

（本题12分）如图所示，F1，F2是椭圆x23+y2b2=1(b>0)的两个焦点，且该椭圆过点A(0,2)

（1）求椭圆的焦点坐标；（3分）

（2）过点A的直线与AF2垂直，交椭圆于点B，求点B的坐标；（5分）

（3）求四边形ABF1F2的面积。（4分）

（本题12分）如图所示，将长为5，宽为3的长方形分别沿两条对称轴对折，对折1次得到52×3和5×32两种不同的长方形，它们的面积之和a1=15，周长之和b1=24；对折2次共得到54×3，52×32，5×34三种不同的长方形，它们的面积之和a2=454，周长之和b2=28。以此类推，对折n次共得到n+1种不同的长方形，它们的面积之和为an，周长之和为bn：

（1）写出a3，b3；（4分）

（2）求数列{an}，{bn}的通项公式；（4分）

（3）求数列{an}的前n项和Sn。（4分）